Productos y cocientes notables - Algebra

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyos resultados puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación, podemos decir que los productos notables es uno de los conceptos mas importante del algebra.
1. Cuadrado de la suma de dos cantidades:
Concepto:  el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad mas dos multiplicado por la primera por la segunda cantidad mas la segunda cantidad al cuadrado.
Ósea:
(x+3)^2 = x^2+ 6x + 9

x^2 -----> la primera cantidad al cuadrado
6x-------> dos multiplicado por la primera y segunda cantidad
9--------> la segunda cantidad al cuadrado

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:
Elevar ( a - b) al cuadrado equivale a multiplicar esa cantidad por si misma
ósea (a - b)^2 = a^2-2ab+b^2
Ejemplo: (x - 4)^2 =  x^2- 8x + 16

3. Producto de la diferencia de dos cantidades:
Si tenemos (a+b).(a-b) = a^2 - b^2

lo que nos quiere decir que al multiplicar la suma por la diferencia de sus termino va ser igual al cuadrado mínimo de la primera - el cuadrado mínimo de la segunda.

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Division Algebraica - Como dividir en algebra?

Es una operación que tiene como objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y unos de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

De esta definición podemos decir que el cociente multiplicado por el divisor, da como resultados el dividendo, explicaremos en esta imagen para que pueda comprender mejor.










Ley de signos:

- / + = -

-/ - = +

+/- = -

+/+ = +

Ley de los exponentes:

Para dividir exponentes de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes

Ejemplo: 10 x^2 / 2x = 5x

como podemos se resta x^2- x = x

es lo mismo como si tuviéramos 2 - 1 = 1

Ley de los coeficientes:

Es lo que venimos explicando anteriormente, el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.

Tenemos por ejemplo : 15x^3/ 3 x^2 = 5x

entonces  5x es el cociente y 5 el coeficiente del cociente.

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Multiplicación Algebraica - Como multiplicar en el algebra?

Es una operación que tiene como objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto.

El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.

esta imagen se aclara para una multiplicación aritmética

 



La ley conmutativa nos dice en aritmética que el orden de los factores no altera el producto, en la multiplicación algebraica pasa lo mismo ósea que si tenemos a x b  es lo mismo que decir b x a.

Ley de signos:

a) -  x  -  =  +
b) -  x  + =  -
c) +  x  - =  -
d)+  x  + = +

Ley de los exponentes:
Para multiplicar  los exponentes con una misma base se tiene que se coloca la misma base, pero se suman las bases.
Ejemplo:  a^2 x a^ 3 = a^5
como vemos se deja la misma base a y se suman 2+3 que es igual a 5

Ley de los coeficientes:
Se cumple la ley conmutativa como se dijo anteriormente ósea:
4a x 5b = 20ab

Lo que significa lo mismo de una manera mas explicada:
(4 x 5) x (a x b) = 20 ab


 

Resta o Sustracción Algebraica - Como se resta en algebra?

Es una operación que tiene como objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando ( resta o diferencia)
ósea, si de a (minuendo) queremos restar b(sustraendo) va ser de esta forma a-b que es la llamada diferencia.

1. Resta de monomios
En un ejemplo tenemos que si -8 que es el minuendo se quiere restar a 11 que es el sustraendo
seria de la siguiente forma: -8 -11 = -19.

Otros ejemplo seria:
a. 8x-3x = 5x

b. 2a+5b-6c+9-3b = 2a+2b-6c+9

vamos a explicar un caso que se puede representar, pero que hay que tener cuenta
un ejemplo seria: 7a restar -9a

Se resuelve de la siguiente forma:
7a - (-9a) = 7a+9a =16a

Lo que resulta es que al cambiar los signos -(-) por una regla de la sustracción, nos dice que se suman los dos términos.

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Suma o adicion Algebraica - Como sumar algebraicamente?

Es una operación que nos permite tener varias expresiones algebraicas con un fin que es sumar todas esas expresiones en un solo termino.
así que si tenemos la suma de a y b esto seria a+b
existen reglas para sumar entre esta esta:
1. Suma de monomios
Ejemplos:
(a). sumar : 4b y 5c = 4b+5c
(b). sumar : 3x- 8x^2+10x -3x^3 = 3x+10 x -8x^2-3x^3 = 13x -8x^2 -3x^3
(c). sumar:  4x^2-6x^2 + 15y - 12y = 4x^2(-6x^2) +3y = -2x^2+3y

Nota(1): el símbolo ^ significa que esta elevado a la n potencia n es igual a cualquier numero.
Nota(2): la resta o la sustracción hace parte de la suma, por tal razón se hacen las operaciones iguales.

2. Suma de polinomios
es una suma de polinomios si cumple las siguientes condiciones que se encuentra en paréntesis( ) una suma o resta de monomios ósea:
Ejemplos:
(a). Sumar:  (a-b) + (3a+6b) = a - b +3a + 6b = 4b +5b
esto se puede verificar haciendo una operación de suma, que seria:
         a - b
        3a+6b
        --------
       4b +5b

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Ecuaciones enteras de primer grado con una incognita - Algebra

1. Igualdad: es la expresión que indica que dos cantidades algebraicas tienen el mismo valor.

Ejemplo: a)  x + y = c       b) x+3y= 73x

2. Ecuación: una ecuación es una igualdad que tiene como fin descubrir ese valor incognito, que no se sabe pero que con cierta operación de igualdad se puede resolver, se simboliza esa incógnita por lo general con las ultimas letras del alfabeto, pero en realidad se puede utilizar cualquier letra.


Ejemplo(1):  a) 4x+8= 64
sabemos en este caso que la incógnita es x
sabemos también que x puede ser remplaza por dos, ósea 4(2)+8=16 ósea nos queda multiplicando     4(2)=8
ósea 8+8 = 16 entonces podemos ver que es una igualdad esta ecuación la cual cumple el concepto de la misma.

Ejemplo(2): b) y^2 -5y= -6

Tenemos que sabes que esta ecuación solo se cumple con dos condiciones que y= 2 e y=3
procedemos a calcular con y=2

2^2-5(2)=-6
4-10= -6
-6=-6

Calculamos con y=3

3^2-5(3)=-6
9-15=-6
-6= -6

Entonces concluimos que se cumple esta ecuación solo con los valor para y= 2 e y=3.

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